1、常识框架
2、方程的有关定义1．方程：含有未知数的等式就叫做方程。2．一元一次方程：只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），如此的方程叫做一元一次方程。比如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程。3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。注：⑴方程的解和解方程是不一样的定义，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的意思是指求出方程的解或判断方程无解的过程。⑵方程的解的检验办法，第一把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，第二比较两边的值是不是相等从而得出结论。3、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。4、去括号法则1．括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2．括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．5、解方程的一般步骤1．去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）2．去括号（按去括号法则和分配律）3．移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）4．合并（把方程化成ax=b（a0）形式）5．系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba）。6、用方程思想解决实质问题的一般步骤1．审：审题，剖析题中已知什么，求什么，明确各数目之间的关系。2．设：设未知数（可分直接设法，间接设法）。3．列：依据题意列方程。4．解：解出所列方程。5．检：检验所求的解是不是符合题意。6．答：写出答案（有单位要注明答案）。7、有关常用应用种类题及各量之间的关系1、和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键字语是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率来体现。（2）多少关系：通过关键字语多、少、和、差、不足、剩余来体现。2、等积变形问题：等积变形是以形状改变而体积不变为首要条件。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②材料体积＝成品体积。3、劳力调配问题：这种问题要搞清人数的变化，容易见到题型有：（1）既有调入又有调出。（2）只有调入没调出，调入部分变化，其余不变。（3）只有调出没调入，调出部分变化，其余不变。4、数字问题（1）要搞了解数的表示办法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9，0b9，0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n2表示；奇数用2n+1或2n1表示。5、工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间6、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度时间。（2）基本种类有①相遇问题；②追及问题；容易见到的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。7、产品销售问题有关关系式：产品收益=产品价格产品进价=产品标价打折率产品进价产品利率=产品收益/产品进价产品价格=产品标价打折率8、储蓄问题（1）客户存入银行的钱叫做本金，银行付给客户的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税（2）利息=本金利率期数本息和=本金+利息利息税=利息税率（20%）一元一次方程应用试题大全1、工程问题列方程解应用题是初中数学的要紧内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实质问题转化成方程或方程组， 从而解决问题。列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审审题：认真审题，弄清题意，找出可以表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设设出未知数：依据提问，巧设未知数．（3）列列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后借助已找出的等量关系列出方程．（4）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是不是是方程的解，是不是符合实质，检验后写出答案．（注意带上单位）例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，目前甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？分析：第一设甲乙合作的时间是x分钟，依据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，依据等量关系，列出方程，再解方程即可．设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：
工程问题是典型的a=bc型数目关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：工作总量＝工作效率工作时间
应该注意的是：工作总量总是在题目条件中并不会直接给出，大家可以设工作总量为单位1。2、比赛计分问题例1某企业对面试职员进行英语考试，考试试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得x=37则45-x=8答：这个人选错了8道题.例2某校高一有12个班．在学校组织的高一篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那样这个班的胜负场数应分别是多少？由于共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那样负了（11-x）场，依据得分为18分可列方程求解．设胜了x场，那样负了（11-x）场．2x+1?（11-x）=18x=711-7=4那样这个班的胜负场数应分别是7和4．比赛积分问题的重点是要知道比赛的积分规则，规则不同，积分方法不同，容易见到的数目关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有的时候平场不计分，另外假如设场数或者题数为x，那样x最后的取值需要为正整数。3、顺逆流（风）问题例1 某轮船的静水速度为v千米/时，水流速度为m千米/时，则这艘轮船在两码头间往返一次顺流与逆流的时间比是（ ）
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特征考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度水流速度=(顺水速度-逆水速度）24、调配问题例1 某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，需要第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？分析：假如设从一车间调出的人数为x，那样有如下数目关系原有人数现有人数一车间6464-x二车间5656+x设需从第一车间调x人到第二车间，依据题意得：2（64-x）=56+x，解得x=24；答：需从第一车间调24人到第二车间．例2 甲仓库储粮35吨 ，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数目是乙仓库的两倍？分析 ：若设应分给甲仓库粮食X吨，则数目关系如下表
5、连比条件巧设x例1. 一个三角形三边长之比为2：3：4，周长为36cm，求此三角形的三边长．分析：设三边长分别为2x，3x，4x，依据周长为36cm，可得出方程，解出即可．设三边长分别为2x，3x，4x，由题意得，2x+3x+4x=36，解得：x=4．故三边长为：8cm，12cm，16cm．例2 .三个数的比是5：12：13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大（ ）A．48 B．42C．36 D．30分析:此题可设每一份为x，则三个数分别表示为5x、12x、13x，依据三个数的和为180，列方程求解即可．设每一份为x，则三个数分别表示为5x、12x、13x，依题意得：5x+12x+13x=180，解得x=6则5x=30，13x=78，78-30=48故选A．比率分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，借助已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和=总量。6、配套问题例1 包装厂有工人42人，每一个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问天天怎么样安排工生活产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套？解法1：可设安排x生活产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42-x）人，依据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可．设安排x生活产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42-x）人，由题意得：120（42-x）=280x，去括号，得5040-120x=160x，移项、合并得280x=5040，系数化为1，得x=18，42-18=24（人）；答：安排24生活产圆形铁片，18生活产长方形铁片能合理地将铁片配套．解法2：若安排x生活产长方形铁片，y生活产圆形铁片，依据共有42名工人，可知x+y=42.再依据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套可知280x=120y，列出二元一次方程组求解。
设安排x生活产长方形铁片，y生活产圆形铁片，则有答：安排24生活产圆形铁片，18生活产长方形铁片能合理地将铁片配套．
7、日历问题
8、收益及优惠问题例1：（2016?荆州）网络微商经营已成为大众创业新渠道，某微信平台上一件产品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件产品的进价为（）A．120元B．100元C．80元 D．60元剖析：设该产品的进价为x元/件，依据价格=进价+收益即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．解：设该产品的进价为x元/件，依题意得：（x+20）=2000.5，解得：x=80．该产品的进价为80元/件．[来源:Zxxk.Com]故选C．例2 （2015?长沙）长沙红星大市场某种高档品牌的家电，若按标价打八折销售该电器一件，则可获收益500元，其利率为20%．现假如按同一标价打九折销售该电器一件，那样获得的纯收益为（）A． 562.5元B． 875元C． 550元 D． 750元剖析： 由利率算出本钱，设标价为x元，则依据按标价打八折销售该电器一件，则可获收益500元可以得到x的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的价值．解答： 解：设标价为x元，本钱为y元，由利率概念得500y=20%，y=2500（元）．x0.8﹣2500=500，解得：x=3750．则37500.9﹣2500=875（元）．故选：B．产品销售额＝产品销价格产品销量产品的销售总收益＝（销价格－本钱价） 销量单件产品收益＝产品价格－产品进价＝产品标价打折率－产品进价
产品打几折供应，就是按原标价的十分之几供应，即产品价格=产品标价打折率9、利率和增长率问题例1（2016?安徽）2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）A．b=a（1+8.9%+9.5%）B．b=a（1+8.9%9.5%）C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%）D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%）剖析：依据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再依据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，即可得出a、b之间的关系式．解：∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，2015年我省财政收为b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；故选C．例2 小明去银行存入本金1000元，作为一年期的按期储蓄，到期后小明税后共取了1018元，已知利息税的利率为20%，则一年期储蓄的利率为（ ）A．2.25% B．4.5%C．22.5% D．45%分析：设一年期储蓄的利率为x，依据税后钱数列方程即可．设一年期储蓄的利率为x，依据题意列方程得：1000+1000x（1-20%）=1018，解得x=0.0225，一年期储蓄的利率为2.25%，故选A．
10、策略选择问题(1)例1某家用电器商场计划用9万元从生产商购进50台电视机．已知该厂商生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．（1）若家用电器商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的拿货策略．（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机策略中，为了使销售时获利最多，你选择哪种策略？解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种策略分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．（1）①当选择和购买A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000即 5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25②当选择和购买A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=180x=3550-x=15③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程 2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意由此可选择两种策略：一是购A，B两种电视机各25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．（2）若选择（1）中的策略①，可获利15025+20025=8750（元）若选择（1）中的策略②，可获利15035+25015=9000（元）90008750故为了获利最多，选择第二种策略．这种问题依据题意分别列出不一样的策略的代数式，再通过计算比较结果，即可得到满足题意的策略，应该注意的是要注意题目中的策略需要，容易见到的是需要收益最大，但有时也有需要消库存最多或者最节省本钱，应该注意审题，不可犯惯性错误。十1、策略选择问题（2）例1某班筹备购置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老师安排小明和小强分别到甲、乙两家商店咨询了同样品牌的乒乓球和乒乓球拍的价格，下面是小明、小强和李老师的对话．小明：甲商店乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，每买一副乒乓球拍可以赠送一盒乒乓球．小强：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定价与甲商店一样，但乙商店可以全部按定价的九折打折．李老师：大家班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒．依据以上对话回答下列问题：（1）当购置的乒乓球为多少盒时，甲、乙两家商店所需成本一样多？（2）如需要购置30盒乒乓球，你觉得到哪家商店购买更划算？（需要有计算过程）（1）依据题意可设当购买乒乓球x盒时，两种打折方法付款一样，列出一元一次方程解答即可．（2）求出当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店各需要多少元，据此即可解答．（1）设当购买乒乓球x盒时，甲店：305+5（x-5）=5x+125，乙店：90%（305+5x）=4.5x+135，由题意可知：5x+125=4.5x+135，解得：x=20；即当购买乒乓球20盒时，甲、乙两家商店所需成本一样多．（2）当购买30盒乒乓球时，去甲店购买要530+125=275（元），去乙店购买要4.530+135=270（元），所以去乙店购买划算．解决最好选择问题的一般步骤：1、运用一元一次方程解应用题的办法求解两种策略值相等的状况；2、用特殊值试探法选择策略，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分别代入两种策略中计算，比较两种策略的优劣后下结论。十2、分配问题例1．学校分配学生住宿，假如每室住8人，还少12个床位，假如每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。解：设房间数为x个，则有学生8x+12人，于是8x+12=9(x-2)解得 x=30则8x+12=252答：房间数为30个，学生252人。例2 某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，假如每小时加工10个零件，就能超额完成3个；假如每小时加工11个零件，就能提前1小时完成．问这批零件有多少个？按原计划需多少小时完成？分析：先设原计划规定的期限为x小时，由假如每小时做10个零件，就能超额完成3个零件，可知零件的总数是10x-3，再由每小时做11个零件，就能提前1小时完成任务，可知零件的总数是11x-11，由此可得出一个等量关系式10x-3=11x-11，解答出来即可．设规定的期限为x小时，由题意可得：10x-3=11x-11，10x-11x=3-11，- x = -8，x=8．零件的总数是：10x-3=108-3=77．答：这批零件有77个，按原计划需8小时完成．这种分配问题中总是有两个不变量，一般为参与分配的人数和被分配的物品数目，抓住这两个不变量，用不一样的代数式表示不一样的分配方法，然后借助总数相等打造等量关系，问题也就迎刃而解了。十3、有规律的相邻数问题例1 一组数列1、4、7、10、，其中有三个相邻的数的和为66，求这三个数．分析：察看数列易得这个数列后面的数比它前面的数大3，设第一个数为x，表示出其余两数，依据3个数相加等于66，列出方程，解方程即可．设第一个数为x，则第二个数为x+3，第三个数为x+6，依题意有：x+x+3+x+6=66，解得x=19．答：这三个数分别为：19、22、25．例2 有一列数，按肯定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，，其中某三个相邻数的和是3072，则这三个数中最小的数是．分析：察看数列不难发现后一个数是前一个数的-2倍，然后设最小的数是x，表示出另两个数，再列出方程求解即可．∵-2=1（-2），4=（-2）（-2），-8=4（-2），16=（-8）（-2），-32=16（-2），，设第一个数是x，则后面两个数分别为-2x，4x，由题意得，x-2x+4x=3072，解得x=1024，即这三个数是1024，-2048,4096．故最小的数为-2048．（1） 第一大家要熟知数字问题中一些常见的表示：比如n可以表示任意整数，那样三个连续的整数可以表示为n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式；偶数常用2n表示,奇数常用2n+1或2n-1表示。（2） 假如所给的数列是有肯定规律的数列，大家重点要找到这列数字的规律，然后用相应的代数式表示出相邻数，再列方程求解。
